Home СОПРОМАТ 3.6. Графическое определение главных напряжений

3.6. Графическое определение главных напряжений




3.6. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ По сравнению с материалом, изложенным в § 3.5, такую задачу иногда называют обратной, поскольку на практике чаще встречается ситуация, при которой напряжения на наклонных площадках известны (например, по результатам тензометрических испытаний), а главные напряжения требуется найти. Напряженное состояние грани D (рис. 3.9, а) характеризуется парой координат в системе σ – τ (рис. 3.9, б): D (σx, τxy). Аналогично для грани F (σy, τyx). Прямая DF – диаметр круга с центром в точке С. Круг отсекает на оси абсцисс максимальное σ1 и минимальное σ2 напряжения: Расстояние до центра круга 0С = σx + σy . Радиус круга СA = CB = CD = CE2 + DE2 . Катеты треугольника CDE: CE = σx − σy ; DE = τxy Радиус круга – гипотенуза треугольника CDE Таким образом, величина главных напряжений Положение главных площадок находим с использованием полюса Р. Через точку D на круге проводим вертикальную линию (штриховка), соответствующую вертикальному положению грани D (рис. 3.9, а). Для грани F, ориентированной горизонтально, проводим горизонтальную линию до пересечения с кругом. Точка пересечения этих линий является полюсом Р. Соединив полюс Р с точкой В, найдем положение главной площадки σ1, а с точкой А – главной площадки σ2. Направление главного напряжения определяют тангенсом угла 2α Рис. 3.9. Напряженное состояние на произвольно выделенных площадках (а) и построение круга Мора (б) для определения величины главных напряжений и положения главных площадок Для рассматриваемого случая главное напряжение σ1 повернуто по ходу часовой стрелки относительно большего алгебраически напряжения σх. Следовательно, в формуле должен быть знак минус: Примечание. Согласно приведенной формулы значение аргумента 2α функции тангенса не может превышать 90°, следовательно, значение угла α не может превышать 45°. Из этого следуют правила: направление большего из главных напряжений откладывают от большего из заданных напряжений σх, или σу; положительное значение угла α откладывают против хода часовой стрелки; направление σmax всегда проходит через те две четверти осей координат, к которым сходятся стрелки τxy и τyx; если одно из главных напряжений окажется отрицательным, то полученные напряжения обозначают σ1 и σ3; если отрицательны оба, то σ2 и σ3. Пример 3.2 Известны нормальные и касательные напряжения, действующие на двух парах граней выделенного элементарного объема материала. Требуется определить положение главных площадок и величину главных напряжений. Решение аналитическое Величины главных напряжений Индексы главным напряжениям присваиваем исходя из соотношения между ними σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, а также учитывая, что одно из трех напряжений на площадке, обращенной к зрителю, равно нулю. Положение главных площадок Изображаем площадку под действием главных напряжений. Знак угла α отрицательный, поэтому угол откладываем по ходу часовой стрелки от вертикали, то есть от направления большего алгебраически из заданных напряжений (σу направлено вертикально). Линия действия максимальных главных напряжений σ1 проходит через I и III квадранты, где расположены ребра параллелепипеда, к которым стягиваются касательные напряжения τ, стремящиеся сдвинуть грани так, чтобы преобразовать квадрат в ромб. Решение графическое В координатной системе σ – τ, используя выбранный масштаб, отложим напряженное состояние граней D(σx, τxy) и F(σy, τyx), то есть D(–200; –250) и F(300; 250). Отрезок DF – диаметр круга; точка пересечения отрезка DF с осью абсцисс – центр круга. Расстояниями от начала координат до точек пересечения окружности с осью абсцисс определяются величины главных напряжений. Полюс Р находим, продлевая до пересечения с окружностью линий, соответствующих положению грани D (вертикальная) и грани F (горизонтальная). Линия, соединяющая полюс Р с точкой, соответствующей σ1, определяет положение первой главной площадки, а с точкой, соответствующей σ3 – положение второй главной площадки. Вывод. Аналитическим путем и графическим построением определена ориентация главных площадок в выделенном объеме нагруженного тела. Найдены значения главных нормальных напряжений. Результаты аналитического и графического решения совпали.

 

НАШИ УСЛУГИ




УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Типовые задания