5.2. НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ
Теория брусьев, имеющих круглое сплошное или кольцевое поперечное сечение, основана на следующих положениях. Поперечные сечения бруса плоские до деформации остаются плоскими и в деформированном состоянии – гипотеза твердых дисков (Бернулли). Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют свою длину. Поперечные сечения остаются круглыми. Расстояния между поперечными сечениями вдоль оси бруса не изменяются. Для установления связи напряжений с внутренними усилиями рассмотрим несколько этапов решения задачи. I. Условие равновесия – статическая сторона задачи (рис. 5.2, в). τ·dA – элементарное усилие; ρ·(τ·dA) – элементарный крутящий момент; Т – равнодействующий момент касательных напряжений Рис. 5.2. Брус под действием внешнего скручивающего момента М (а); деформация элементарного участка dx (б); внутреннее усилие Т и напряжения τ в поперечном сечении (в); распределение касательных напряжений τ в поперечном сечении (г) Для нахождения сдвигающих напряжений τ рассмотрим физическую сторону задачи. II. Физическая сторона задачи – закон Гука при сдвиге связывающий касательные напряжения τ с деформацией сдвига γ. Деформацию сдвига γ найдем, рассмотрев геометрическую сторону задачи. III. Деформационная (геометрическая) сторона задачи Левый торец бруса длиной х (рис. 5.2, а) под действием внешнего скручивающего момента М повернется на угол φ. В элементе длиной dx аналогичный угол dφ (рис. 5.2, б). Образующая цилиндра отклоняется от исходного положения на угол γ. На поверхности элемента радиусом r угол γ принимает максимальное значение В цилиндре произвольного радиуса ρ внутри элемента угол γ: Рассмотренные ранее этапы объединяет математическая сторона задачи. IV. Математическая сторона задачи Уравнение (5.1) подставляем в уравнение (5.3), а уравнение (5.4) – в уравнение (5.2): Обозначая p A 2d∫ρ = AI как полярный момент инерции (геометрическая характеристика поперечного сечения), получим: Относительный угол закручивания элементарного участка dφ/dx (5.5) подставим в (5.4): и получим напряжение в произвольной точке сечения Закон распределения касательных напряжений – линейный. В центре τ = 0, так как ρ = 0, на периферии τ = τmax, так как ρmax = r (рис. 5.2, г).