Home СОПРОМАТ 5.2. Напряжения при кручении

5.2. Напряжения при кручении

Напряжения при кручении
Напряжения при кручении
5.2. Напряжения при кручении

5.2. НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ

Теория брусьев, имеющих круглое сплошное или кольцевое поперечное сечение, основана на следующих положениях. Поперечные сечения бруса плоские до деформации остаются плоскими и в деформированном состоянии – гипотеза твердых дисков (Бернулли). Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют свою длину. Поперечные сечения остаются круглыми. Расстояния между поперечными сечениями вдоль оси бруса не изменяются. Для установления связи напряжений с внутренними усилиями рассмотрим несколько этапов решения задачи. I. Условие равновесия – статическая сторона задачи (рис. 5.2, в). τ·dA – элементарное усилие; ρ·(τ·dA) – элементарный крутящий момент; Т – равнодействующий момент касательных напряжений Рис. 5.2. Брус под действием внешнего скручивающего момента М (а); деформация элементарного участка dx (б); внутреннее усилие Т и напряжения τ в поперечном сечении (в); распределение касательных напряжений τ в поперечном сечении (г) Для нахождения сдвигающих напряжений τ рассмотрим физическую сторону задачи. II. Физическая сторона задачи – закон Гука при сдвиге связывающий касательные напряжения τ с деформацией сдвига γ. Деформацию сдвига γ найдем, рассмотрев геометрическую сторону задачи. III. Деформационная (геометрическая) сторона задачи Левый торец бруса длиной х (рис. 5.2, а) под действием внешнего скручивающего момента М повернется на угол φ. В элементе длиной dx аналогичный угол dφ (рис. 5.2, б). Образующая цилиндра отклоняется от исходного положения на угол γ. На поверхности элемента радиусом r угол γ принимает максимальное значение В цилиндре произвольного радиуса ρ внутри элемента угол γ: Рассмотренные ранее этапы объединяет математическая сторона задачи. IV. Математическая сторона задачи Уравнение (5.1) подставляем в уравнение (5.3), а уравнение (5.4) – в уравнение (5.2): Обозначая p A 2d∫ρ = AI как полярный момент инерции (геометрическая характеристика поперечного сечения), получим: Относительный угол закручивания элементарного участка dφ/dx (5.5) подставим в (5.4): и получим напряжение в произвольной точке сечения Закон распределения касательных напряжений – линейный. В центре τ = 0, так как ρ = 0, на периферии τ = τmax, так как ρmax = r (рис. 5.2, г).

 

НАШИ УСЛУГИ


УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Типовые задания