4. СДВИГ, СМЯТИЕ Сдвиг – простой вид деформации, характеризующийся взаимным смещением параллельных слоев материала под действием приложенных сил при неизменном расстоянии между слоями. При сдвиге в поперечном сечении из шести внутренних усилий действует только одно – поперечная сила Q (рис. 4.1). Порядок вывода расчетных формул в сопротивлении материалов При выводе любых аналитических зависимостей в сопротивлении материалов рассматривается существование малого элемента тела с целью последовательного определения его перемещений, деформаций и напряжений в нем. Проинтегрировав установленные зависимости по всему объему тела, находят связь перемещений, деформаций и напряжений с внешними силами. Всякий расчет состоит из четырех этапов: статический анализ – устанавливает связь напряжений с внешними нагрузками путем интегрирования уравнений равновесия элемента по всему объему тела; геометрический анализ – устанавливает связь между перемещениями и деформациями малого элемента тела; физический анализ – устанавливает связь между деформациями элемента и напряжениями в нем. При упругой деформации используется закон Гука; синтез установленных зависимостей. Подставляя найденные на трех предыдущих этапах выражения одно в другое и упрощая их, получают окончательные расчетные формулы. Для установления связи внутренних усилий с напряжениями и деформациями при сдвиге рассмотрим несколько этапов. I. Статическая сторона задачи – условие равновесия (рис. 4.2) В действительности, касательные напряжения распределяются по сечению неравномерно. Однако, если принять допущение о равномерном распределении напряжений, что широко используется на практике. II. Геометрическая (деформационная) сторона задачи В элементе В, выделенном на рис. 4.1, ΔS – абсолютный сдвиг; γ – относительный сдвиг III. Физическая сторона задачи В области упругих деформаций справедлив закон Гука IV. Математическая сторона задачи Подставляя (4.1) и (4.2) в (4.3), получим закон Гука для сдвига Произведение G•A – жесткость сечения при сдвиге; G – модуль сдвига, модуль касательной упругости, модуль упругости второго рода. Для стали в расчетах принимают G = 80 ГПа = 80•104 МПа. Установлена связь между упругими постоянными где μ – коэффициент поперечной деформации (Пуассона) Напряженное состояние. По граням выделенного на рис. 4.1 элемента В действуют только касательные напряжения τ; нормальные напряжения σx = 0, σy = 0. Графическим построением (рис. 4.3, а) и аналитическим решением по формулам получаем: главные площадки ориентированы под углом 45° к направлению сдвигающих напряжений (рис. 4.3, б), величины Рис. 4.3. Построение круга Мора для определения главных площадок и величины главных напряжений Рис. 4.2. Внутренние усилия и напряжения, возникающие в сдвигаемых слоях. главных нормальных напряжений равны касательным напряжениям. Имеет место чистый сдвиг – частный случай плоского напряженного состояния, при котором по граням элемента действуют только касательные напряжения. Допускаемые напряжения. Расчет на прочность Эквивалентные напряжения по I гипотезе прочности: ,вк эI1σ= σ≤[σ], но σ1 = τ, следовательно [τ]= [σ] Соотношение справедливо для хрупких материалов. Эквивалентные напряжения по III гипотезе прочности: ,вк эIII13σ= σ−σ≤[σ], но σ1 = τ, σ3 = −τ. Тогда 2[τ]≤ [σ] откуда [τ]= 0,5[σ]. Эквивалентные напряжения по IV гипотезе прочности: Подставив σ1 = τ , σ2 = 0 и σ3 = –τ, получим σ=σ+σ+σ[ (−σ = [τ)]+τ +4τ ]=τ ≤[σ]3 откуда [τ]= [σ] = 0,577[σ] Таким образом, при расчете деталей из пластичных материалов, работающих на срез (болты, заклепки, шпонки…) условие прочности может быть записано так: τ=≤[τ], где [τ]= (0,5− 0,6)[σ]. Смятие – вид местной пластической деформации, возникающей при сжатии твердых тел, в местах их контакта. Смятие материала начинается в случае, когда интенсивность напряжений достигает величины предела текучести материала. Размеры смятого слоя зависят от величины, характера и времени воздействия нагрузки, а также от температуры нагрева сжимаемых тел. Смятие наблюдается не только у пластичных, но и у хрупких материалов (закаленная сталь, чугун и др.). Смятие возникает в соединениях (болтовых, заклепочных, шпоночных и др.), в местах опоры конструкций и в зонах контакта сжатых элементов. Смятие широко используется для создания заклепочных, врубовых и других плотных соединений; является начальной стадией таких процессов холодной и горячей обработки металлов, как прокатка, вальцовка, ковка. Величину напряжений смятия в конструкциях обычно ограничивают допускаемым напряжением смятия, которое определяется характером соприкасающихся поверхностей, свойствами используемого материала и его ориентацией относительно действующих нагрузок (например, в случае древесины – вдоль или поперек волокон). Пример Подобрать диаметр заклепок, соединяющих накладки с листом; проверить прочность заклепок на смятие и листов на разрыв. Материал листов и заклепок – прокат из стали Ст3. Дано: F = 8 кН; t1 = 5 мм; t2 = 3 мм; b = 50 мм; σт= 235 МПа. Решение 1. Определение диаметра заклепок Допускаемые напряжения, рассчитанные на основе механической характеристики – предела текучести и нормативного коэффициента запаса: [σр]= σт n[т]= 235 1,5 =156,7 МПа ≈160 МПа; [τ]= 0,6[σ]= 0,6⋅160 = 96 МПа; σсм =[]2ч(2,5 [ σ)]= 2ч(2,5 ⋅16)0=(320 400)МПа.р ч Допускаемые напряжения согласно рекомендациям табл. П2: [σр] = 125 МПа; [τср] = 75 МПа; [σсм] = 190 МПа. Из двух значений допускаемого напряжения на срез (96 и 75 МПа) принимаем меньшие значения допускаемого напряжения [τср] = 75 МПа. Из условия прочности при срезе определяем требуемую площадь поперечного сечения заклепок. Стержень заклепки подвергается перерезыванию в двух плоскостях; средняя часть заклепки сдвигается вправо. Суммарная площадь среза где m = 2 – количество плоскостей среза заклепки; n = 3 – количество заклепок. Принимаем d = 5 мм. 2. Проверка заклепок на смятие Давление, передающееся на поверхность заклепки от листа, распределяется неравномерно, по сложной зависимости, изменяясь от нуля до значительных величин (рис. 4.4). На практике, чтобы вычислить условное напряжение смятия необходимо разделить силу, приходящуюся на заклепку, на площадь диаметрального сечения. Эта площадь представляет собой прямоугольник, одной стороной которой служит диаметр заклепки, другая сторона равна толщине листа, передающего давление на стержень заклепки. Так как толщина среднего листа меньше суммы толщин обеих накладок, то в худших (наиболее опасных) условиях по смятию будет именно средняя часть заклепки. Условие прочности на смятие. Прочность на смятие обеспечена. 3. Проверка прочности листа на разрыв Опасным считается сечением листа, проходящее через заклепочные отверстия; здесь рабочая ширина листа является наименьшей. Площадь сечения листа, ослабленного заклепочными отверстиями (площадь «живого» сечения) Вывод. Из условия прочности на сдвиг подобран диаметр двухсрезных заклепок. Условия прочности на смятие заклепок и разрыва листа выполняются.
