Home СОПРОМАТ 3.12. Понятия о теориях прочности

3.12. Понятия о теориях прочности

Понятия о теориях прочности
Понятия о теориях прочности
Понятия о теориях прочности
Понятия о теориях прочности
Понятия о теориях прочности
Понятия о теориях прочности

3.12. ПОНЯТИЯ О ТЕОРИЯХ ПРОЧНОСТИ Теории прочности используются для оценки прочности конструкций в случае плоского и объемного напряженных состояний. При двух- и трехосном напряженном состояниях соотношения между нормальными и касательными напряжениями настолько разнообразны (тензор напряжений содержит девять компонентов, из которых шесть независимы), что экспериментальная проверка опасного состояния для каждого из соотношений практически исключается. Задача несколько упрощается, если вместо шести компонентов напряжений рассматривать эквивалентные им три главных напряжения и найти такую их комбинацию, которая была бы равноопасной линейному напряженному состоянию, то есть простому растяжению или сжатию. Характеристики прочности и пластичности, полученные при испытании на растяжение, достаточно полно приведены в справочной литературе. Суть теорий (гипотез, критериев) прочности состоит в том, что, определив главную причину разрушения материала (преимущественное влияние того или иного фактора), можно подобрать соответствующее эквивалентное напряжение при сложном напряженном состоянии, а затем сопоставить его с простым одноосным растяжением, как показано на схеме. Эквивалентное напряжение σэкв – напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным с заданным. Создан ряд теорий (гипотез, критериев) прочности (более 20), позволяющих определить вид функциональных зависимостей, представляющих сложное напряженное состояние эквивалентным ему одноосным напряженным состоянием. В качестве причин наступления опасного состояния считают: а) нормальные напряжения – разрушение хрупкое, путем отрыва; б) линейные деформации; в) касательные напряжения – разрушение пластичное, путем сдвига; г) энергия деформации и другие. Следует заметить, что опасное состояние как для пластичных материалов (момент появления больших остаточных деформаций), так и для хрупких (момент появления трещин) лежит на границе области упругого деформирования. Это позволяет при всех дальнейших вычислениях, относящихся к проверкам прочности, пользоваться формулами, выведенными при условии применимости закона Гука. ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ (первая теория прочности) Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если максимальное нормальное напряжение не превзойдет допускаемого, определенного при простом растяжении: σэкв(I) = σ1 ≤ [σ]. σ3 σ2 σ1 σэкв [σ] или σпред Заменить Сравнить Здесь [σ] – допускаемое напряжение при растяжении. Эту гипотезу связывают с именем Г. Галилея (XVII). Гипотеза пренебрегает действием двух других главных напряжений и не учитывает появления пластических деформаций; дает удовлетворительные результаты для хрупких материалов: стекло, керамика, камень, кирпич, бетон, гипс. ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ ЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ (вторая теория прочности) Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если наибольшее относительное удлинение не превзойдет допускаемого, определенного при простом растяжении: ε≤ε xa m[]. Гипотеза предложена Э. Мариоттом (1682), развита Б. Сен-Венаном (XIX). Из первой строки обобщенного закона Гука для объемного напряженного состояния (3.12) Для линейного напряженного состояния, когда σ2 = σ3 = 0, ε2 = ε3 = 0 Решая совместно последние три равенства, получим: Экспериментально гипотеза подтверждается слабо, в расчетной практике применялась в начале прошлого века. ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ (третья теория прочности) Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если наибольшее касательное напряжение не превзойдет допускаемого, определенного при простом растяжении τ≤τ. Гипотеза предложена Ш. Кулоном (1773 г.), развита Б. Сен-Венаном (1871). Для объемного напряженного состояния При простом растяжении (линейном напряженном состоянии, σ2 = σ3 = 0) Решая совместно последние два равенства, получим. Гипотеза не учитывает действие второго главного напряжения σ2. Хорошо согласуется с опытом для пластичных материалов. ГИПОТЕЗА УДЕЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ – ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ (четвертая теория прочности) Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если удельная потенциальная энергия деформации, идущая на изменение формы, не превзойдет допускаемого значения, определенного при простом растяжении ≤uuф [ ]. Согласно гипотезе, высказанной Д. Максвеллом в 1856 г. и разработанной М. Хубером в 1930 г., удельную потенциальную энергию деформации следует разложить на две компоненты, одна из которых отвечает за изменение объема, а другая – формы. В расчетах учитывать лишь одну из них – последнюю. Напряжения σ1, σ2 и σ3, действующие по граням параллелепипеда, тоже можно разложить на две компоненты, как показано на схеме: Первая компонента – шаровой тензор, по граням которого действует среднее напряжение σm, отвечает только за изменение объема (одинаковое удлинение всех ребер). Вторая компонента – девиатор (от лат. deviatio – отклонение) отвечает за изменение формы элементарного параллелепипеда. Энергия формоизменения для объемного напряженного состояния (вывод опускается). При одноосном растяжении, когда σ2 = σ3 = 0, приняв σэкв = σ1, получим: Тогда условие прочности по четвертой теории можно записать так. Четвертая теория более точно, чем третья, описывает появление в материале малых пластических деформаций. Опыты хорошо подтверждают четвертую теорию для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. ГИПОТЕЗА КУЛОНА-МОРА (ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ МОРА, 1900) Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена, если круг Мора не выходит за пределы огибающих кругов, построенных на допускаемых напряжениях при простом растяжении и сжатии. Гипотеза (ее иногда называют пятой и обозначают римской цифрой V) применяется для материалов, обладающих разным сопротивлением растяжению и сжатию (чугун, бетон…). В случае, если допускаемые напряжения при растяжении [σ+] и сжатии [σ-] одинаковы, теория Мора совпадает с третьей теорией прочности. Таким образом, для практических расчетов следует рекомендовать четвертую или третью теории прочности (строго говоря – теории перехода локального объема в пластическое состояние) для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, то есть пластичных, и теорию Мора – для материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию. Рис. 3.12. Круги Мора: для осевого растяжения (1); осевого сжатия (2); опасного напряженного состояния (3); безопасного напряженного состояния (4) Решение Напряжениям, показанным на рисунке, дадим обозначение согласно координатной системе xyz: Площадка, нормаль к которой параллельна оси z – главная, поскольку касательные напряжения на ней отсутствуют. Покажем напряженное состояние на двух других площадках в плоскости x0z. Величина главных напряжений: Назначаем индексы при главных напряжениях: =1σ 45,7МПа; σ2 = −34,7 МПа; σ3 = −70 МПа. Проверка результатов расчета с использованием свойства суммы нормальных напряжений. Положение главных площадок Угол α (положительный) откладывается против хода часовой стрелки от направления большего из заданных напряжений в плоскости x0z, то есть от σy. Проверка прочности Назначим допускаемые напряжения, выбрав коэффициент запаса прочности [nв] = 3, рекомендуемый для хрупких материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию Пример 3.3. В опасном сечении детали, выполненной из серого чугуна СЧ25, выделен элемент, по граням которого действуют напряжения (в МПа), как показано на рисунке. Проверить прочность элемента. Согласно первой гипотезы прочности прочность обеспечена. Согласно второй гипотезы прочности прочность обеспечена Согласно третьей гипотезы прочности Прочность недостаточна. Согласно четвертой гипотезы прочности прочность недостаточна. Согласно теории прочности Кулона-Мора прочность обеспечена Вывод. Рассмотрены варианты использования различных теорий прочности при выполнении поверочного расчета элемента из хрупкого материала. Третья и четвертая теории прочности, обычно применяемые для пластичных материалов, дали отрицательный ответ

 

НАШИ УСЛУГИ




УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Типовые задания