Home СОПРОМАТ 7.4. Нормальные напряжения при изгибе

7.4. Нормальные напряжения при изгибе

Нормальные напряжения при изгибе

Нормальные напряжения при изгибе 1

Нормальные напряжения при изгибе 2
Нормальные напряжения при изгибе 3
Нормальные напряжения при изгибе 5

7.4. НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

Рассмотрим простейший случай изгиба – чистый изгиб, при котором в поперечных сечениях бруса действует только одно внутреннее усилие – изгибающий момент. Например, в условиях чистого изгиба работают участки балки, на которых изгибающий момент постоянен, а поперечная сила отсутствует (dM/dx = 0). При расчете балки на изгиб будем считать справедливыми принятые ранее гипотезы, из которых выделим следующие: гипотеза плоских сечений (Бернулли): поперечные сечения бруса плоские до деформации, остаются плоскими и в деформированном состоянии; гипотеза постоянства напряжений по ширине бруса; гипотеза отсутствия боковых давлений: боковые волокна бруса не давят друг на друга. Геометрический анализ Двумя сечениями ad и bc на расстоянии dx выделим малый элемент (рис. 7.5, а, б) и рассмотрим его деформацию (рис. 7.5, в). Длина отрезка нейтрального слоя dx = ρ·dφ. Волокно нейтрального слоя не деформируется ε = 0, σ = 0. Любое другое волокно, находящееся на расстоянии у изменит свою длину и станет равным (ρ+y)dφ. Его относительное удлинение После преобразования получим Деформация волокон пропорциональна их расстоянию до нейтрального слоя. Физический анализ В общем случае нагружения продольная деформация по закону Гука однако в силу гипотезы отсутствия боковых давлений σz= 0 и σy= 0, то есть волокна бруса испытывают только деформацию растяжения. Имеет место линейное напряженное состояние Рис. 7.4. Схемы нагружения, при которых в сечениях возникает чистый изгиб Статический анализ (рис. 7.5, г) σх·dA – элементарное усилие; y(σх·dA) – элементарный момент. Момент во всем сечении Синтез установленных зависимостей Приравниваем правые части уравнений (7.4) и (7.5): Зависимость (7.7) подставляем в (7.6) I zy2 Ad – момент инерции, геометрическая характеристика попе- речного сечения. Из последнего равенства найдем отношение и подставим его в (7.7). Опуская индекс при σ, получим уравнение А. Навье (1826) Рис. 7.5. Схемы к определению связи внутренних усилий с напряжениями: а – брус до деформации; б – брус в деформированном состоянии; в – элемент abcd в деформированном состоянии; г – внутренние усилия в сечении Следствия из формулы Навье Центр тяжести сечения является началом координат для анализа напряжений и приведения внешних сил. Напряжения изгиба зависят от значений изгибающего момента, момента инерции сечения и координаты точки. Напряжения в любой точке, лежащей на одинаковом расстоянии от нейтральной линии, равны между собой. Наибольшие по величине напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтрального слоя. Условие равновесия Из статического анализа (рис. 7.5, г) следует: В полученное равенство подставляем (7.7): y S zy Ad –статический момент площади, геометрическая характеристика. Поскольку отношение 0, следовательно, нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения. Радиус кривизны нейтрального слоя является и радиусом кривизны изогнутой оси бруса. Деформация балки при изгибе – кривизна ее геометрической оси. Это закон Гука при изгибе. Следствия из закона Гука Момент инерции характеризует способность бруса сопротивляться искривлению в зависимости от размеров и формы его поперечного сечения. Чем больше значение Iz при заданной величине М, тем большим окажется радиус кривизны нейтрального слоя бруса, то есть брус искривляется меньше. Модуль упругости характеризует способность бруса сопротивляться искривлению в зависимости от его материала. Произведение E·Iz называют жесткостью сечения при изгибе.

 

НАШИ УСЛУГИ




УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Типовые задания