Home СОПРОМАТ 3.1. Понятие о напряженном состоянии

3.1. Понятие о напряженном состоянии

Понятие о напряженном состоянии
http://dx-dy.ru/risunki/sopromat/31-1.jpg

3. НАПРЯЖЕННО–ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ Если твердое тело нагружено системой сил, то через любую его точку можно провести бесчисленное множество различно ориентированных площадок, по которым действуют нормальные и касательные напряжения, вызывающие линейные и угловые деформации. 3.1. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ Напряженное состояние – совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку. Напряжение – величина, характеризующая интенсивность внутренних усилий, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий, то есть внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади в окрестности рассматриваемой точки. Напряжение полное p – уравновешивающее внешнюю нагрузку. Напряжение р – величина векторная, раскладывается на составляющие: по нормали к сечению σ и в плоскости сечения τ, причем p2 = σ2 + τ2. Напряжение нормальное σ – перпендикулярное к сечению. Напряжение касательное τ – действующее в плоскости к сечению. Обозначение индексов при напряжениях: первый соответствует площадке, нормаль к которой совпадает с направлением оси (адрес площадки); второй указывает направление напряжений. Нормальные напряжения имеют только первый индекс. Правила знаков Нормальные напряжения вызывают удлинение или укорочение граней параллелепипеда. Растягивающие напряжения считают положительными. Касательные напряжения вызывают смещение граней, их сдвиг, изменение углов прямых на тупые и острые. Касательное напряжение положительно, если изображающий его вектор стремится вращать грань по ходу часовой стрелки. Напряженное состояние характеризуют тензором напряжений. Тензор (от лат. tensus напряженный, натянутый) – величина особого рода, задаваемая числами и законами их преобразования; является развитием и обобщением векторного исчисления и теории матриц. В первой строке тензора ставят напряжения на первой площадке (х); во второй – на площадке у; в последней строке – на площадке z. Тензор содержит девять компонентов. Параллелепипед, выделенный в окрестности рассматриваемой точки, должен находиться в равновесии при действии сил, приложенных к его граням. Нормальные силы, приложенные к граням параллелепипеда, взаимно уравновешены и, следовательно, три уравнения равновесия тождественно удовлетворяются. Составив уравнения суммы моментов всех сил относительно координатных осей x, y, z, можно получить следующие три равенства. Эти равенства называют законом парности касательных напряжений: если по какой-либо площадке действует некоторое касательное напряжение, то по перпендикулярной к ней площадке будет действовать касательное напряжение, равное по величине и противоположное по знаку. Вследствие закона парности касательных напряжений тензор становится симметричным относительно главной диагонали. Вместо девяти компонентов независимыми оказываются только шесть. С изменением ориентации параллелепипеда в пространстве выделенного объема напряженного тела соотношение между нормальными и касательными напряжениями будет изменяться. Следовательно, и запись тензора для одного и того же напряженного состояния будет различной. Примером сказанного могут служить разные варианты описания одного и того же вектора R на плоскости в зависимости от выбранной системы координат (рис. 3.3). В системе k, ℓ: R(3, 4); в системе m, n: R(4, 3); в системе o, p: R(5, 0). Очевидно, последний вариант описания более удобен, поскольку одна из проекций вектора равна его длине, а другая – равна нулю. Поэтому необходимо найти такое положение элементарного объема, чтобы количество действующих по его граням напряжений было минимальным. Можно найти такую ориентацию параллелепипеда, при которой по его граням действуют только нормальные напряжения (рис. 3.3). Количество независимых компонент тензора в этом случае уменьшается до трех. Главные площадки – площадки, на которых касательные напряжения отсутствуют. Главные напряжения – нормальные напряжения, действующие по главным площадкам. Главные напряжения – нормальные напряжения, принимающие экстремальные значения. Главные напряжения нумеруют в порядке убывания σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.

 

НАШИ УСЛУГИ




УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Типовые задания