8.1. КОСОЙ ИЗГИБ
Косой изгиб – частный случай сложного сопротивления, при котором силовая плоскость не совпадает с главными плоскостями инерции. Рис. 8.1. При въезде автомобиля на наклонную плоскость линия действия силы F не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции поперечного сечения балки В общем случае косого изгиба в поперечных сечениях возникают четыре внутренних усилия: две поперечные силы Qz, Qy и два изгибающих момента Mz, My. Влиянием поперечных сил на прочность и жесткость при расчете длинных балок часто пренебрегают ввиду их малости. Так, для прямоугольника и круга соответственно В дальнейшем будем учитывать только изгибающие моменты. Напряжения при косом изгибе Изгибающий момент М (рис. 8.3, а) в сечении раскладывают на две его составляющие, действующие в главных плоскостях инерции От каждого из внутренних усилий возникают нормальные напряжения, приложенные к одной паре площадок. Две другие пары площадок свободны от напряжений. Имеет место линейное напряженное состояние. Нормальные напряжения в произвольной точке с координатами z, y определяют суммой напряжений от моментов Mz, My (рис. 8.3, в): Из рисунка следует, что опасными являются точки, в которых складываются напряжения с одним знаком, то есть точки A и C: Рис. 8.2. В начале движения мостового крана вдоль пролета цеха, и при его торможении возникает горизонтальная сила вследствие инерции груза Правила знаков: из анализа знаков напряжений (рис. 8.3, г) следует, что для получения верного результата по формулам (8.1) и (8.2) необходим как учет знака изгибающего момента, так и выбор (назначение) направления координатных осей в сечении. Направление координатных осей следует выбирать так, чтобы в первом квадранте координатной системы z0y (где z > 0; y > 0) изгибающий момент вызывал растягивающие напряжения. Рис. 8.4. Примеры выбора направления координатных осей при косом изгибе Рис. 8.3. Взаимное положение силовой плоскости и главных плоскостей инерции при косом изгибе (а); внутренние усилия в произвольном сечении бруса (б); характер распределения напряжений в произвольном сечении бруса (в); напряженное состояние в произвольных точках поперечного сечения бруса (г) Нейтральная линия при косом изгибе В уравнении (8.2), связывающем напряжение в произвольной точке с ее координатами, переменными являются координаты z, y. Поскольку они в первой степени, то, следовательно, напряжения распределяются по линейному закону и должна быть линия, на которой напряжения равны нулю. Нейтральная линия (нейтральная ось) – геометрическое место точек сечения, в которых нормальные напряжения равны нулю. Приравняв (8.2) нулю получают уравнение нейтральной линии вида y = k ⋅ x + b: то есть уравнение прямой с угловым коэффициентом где собственно угловой коэффициент вычисляют Анализ уравнений (8.3), (8.4) 1. Свободный член уравнения (8.3) равен нулю, следовательно, прямая проходит через начало координат. Нейтральная линия разделяет сечение на сжатую и растянутую области. 2. Углы α и β в уравнении (8.4) имеют разные знаки, следовательно, силовая и нейтральная линии лежат в разных плоскостях. Углы α и β откладывают в одном направлении, но от разноименных осей (см. рис. 8.3, в). 3. Углы α ≠ β, следовательно, силовая F-F и нейтральная линии не перпендикулярны (см. рис. 8.3, в). Рис. 8.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и график прямой линии, известные из школьного курса Расчет на прочность при косом изгибе Поскольку напряженное состояние линейное (рис. 8.3, г), результаты расчета по любой из гипотез прочности совпадают. Максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Их положение определяют графически после построения нейтральной линии (рис. 8.3, в). Условие прочности, вытекающее из уравнения (8.1): Условие прочности, вытекающее из уравнения (8.2): то есть такое же как при плоском изгибе, но с множителем в скобках большим единицы. Выполняют три вида расчетов: поверочный, проектный и определение допускаемой нагрузки. Проектный расчет. Требуемый размер поперечного сечения находят из условия прочности (8.6): Искомый параметр находится по обе стороны от знака неравенства. Полученное уравнение – трансцендентное, то есть не могущее быть выраженным алгебраическим выражением. Такие уравнения решают методом итераций, то есть методом последовательных приближений. Для стандартного прокатного профиля (двутавра, швеллера…) отношение Wz Wy зависит от размеров профиля. Так, для двутавров от № 10 до № 60 отношение Wz Wy изменяется в диапазоне от 6,12 до 14,07. Поэтому в первом приближении принимают среднее число из указанного диапазона (например, 10). Подбирают профиль, а затем выполняют поверочный расчет. Следующая проба – уточненная. Перегрузку выше 5 % не допускают. Пример 8.1. Подобрать размер двутавра для консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой. Дано: q = 5 кН/м; α = 10°; ℓ = 2 м; [σ] = 200 МПа. Решение. Из условия прочности при косом изгибе: требуемый момент сопротивления Принимаем двутавр № 18: Wz = 143 см3; Wy = 18,4 см3. Поверочный расчет: 0,174 163 МПа Недогрузка 100 18,2 % Принимаем двутавр № 16: Wz = 109 см3; Wy = 14,5 см3. Поверочный расчет: 0,174 210 МПа Перегрузка 100 5 % Такая перегрузка допустима. Напряжения при плоском изгибе, то есть при α = 0 Сопоставление напряжений при косом и плоском изгибах: Вывод: напряжения при косом изгибе больше, чем при плоском изгибе в 2,29 раз. Косой изгиб опаснее плоского. Пример 8.2. Подобрать размеры поперечного сечения деревянной балки с отношением высоты к ширине с = h/b = 2 . Дано: F = 2 кН; α = 30°; ℓ = 3 м; [σ] = 10 МПа. Решение. Из условия прочности при косом изгибе: требуемый момент сопротивления С другой стороны, Из эпюры моментов Mmax= F·ℓ = 2·3 = 6 кН·м. Тогда Принимаем: b = 0,12 м, h = 0,24 м. Выполняем поверочный расчет: Вывод: косой изгиб опаснее плоского. Пример 8.3. Подобрать размеры прямоугольного сечения балки с отношением высоты к ширине h/b = 1,6. Материал балки сталь 40 (σт = 340 МПа). Дано: F = 10 кН; q = 30 кН/м; а = 1,3 м; с = 1,5 м. Решение. Имеем разновидность косого изгиба, при котором оба силовых фактора действуют в разных главных плоскостях инерции (рис. а). Внутренние усилия определяем методом сечений (рис. б и в), начиная со свободного конца, чтобы избежать процедуры определения опорных реакций в защемлении (в общем случае их шесть). Результаты расчета заносим в таблицу и строим эпюры изгибающих моментов в горизонтальной и вертикальной плоскостях (рис. г, д). Опасным оказалось сечение в защемлении. При этом изгибающий момент от силы F вызывает растяжение в точках В и С, сжатие – в точках A и D. Распределенная нагрузка деформирует балку так, что растягивающие напряжения возни- кают в точках A и B, сжимающие – в точках C и D. Опасными являются точки, в которых складываются напряжения с одним знаком: точки В и D. Условие прочности имеет вид: где изгибающие моменты а моменты сопротивления Назначим допускаемое напряжение, выбрав [nт] из диапазона [nт] = 1,3-2,3 Перепишем условие прочности в виде: откуда требуемое значение ширины сечения 0,0989 м; Принимаем: ширина сечения b = 0,1 м, высота сечения h = 1,6·0,1= 0,16 м. участок II участок усилия 0 ≤ x ≤ a 0 ≤ x ≤ c Деформация балок при косом изгибе С использованием универсального уравнения упругой линии (метода начальных параметров) или энергетического метода для некоторых случаев плоского изгиба найдено максимальное значение прогиба – стрела прогиба f. Деформацию балок при косом изгибе определяют путем геометрического сложения векторов прогибов в направлениях главных центральных осей инерции. Так, для первого из приведенных выше примеров Величину полного прогиба определяют: то есть так же, как и при плоском изгибе, но с множителем (корнем), большим единицы. Положение плоскости изгиба (направление перемещения центра тяжести сечения) определяется углом γ: Из сопоставления формул (8.8) и (8.4) следует, что нейтральная плоскость и плоскость изгиба взаимно перпендикулярны (tg γ = –tg β) и не совпадают с силовой плоскостью: Пример 8.4. (Беляев Н. М. Сборник задач. № 6.9) При установке на опоры двутавра № 60, предназначенного для работы на изгиб в вертикальной плоскости, совпадающей с плоскостью стенки, была допущена ошибка, и стенка двутавра отклонилась от вертикали на угол α = 1°. Определить связанное с этим увеличение нормальных напряжений и полного прогиба двутавра. Решение Для двутавра № 60: Wz = 2560 см3; Wy = 182 см3; Iz = 76806 см4; Iy = 1726 см4. Сопоставим максимальные напряжения при косом и плоском изгибах В случае плоского изгиба балка прогибается в вертикальном направлении на величину fy. При косом изгибе величина полного прогиба От вертикального направления балка отклоняется на угол, определяемый как Увеличение полного прогиба составит: Ответ: напряжения увеличились на 24,5, а полный прогиб – на 26,6 %.
